SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Una de las acepciones que trae el Diccionario de Real Academia de la Lengua Española (RAE) respecto a la palabra Problema es “Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos”. Con miras a lograr esa respuesta, un problema se puede definir como una situación en la cual se trata de alcanzar una meta y para lograrlo se deben hallar y utilizar unos medios y unas estrategias.
La mayoría de problemas tienen algunos elementos en común: un estado inicial; una meta, lo que se pretende lograr; un conjunto de recursos, lo que está permitido hacer y/o utilizar; y un dominio, el estado actual de conocimientos, habilidades y energía de quien va a resolverlo (Moursund, 1999). Casi todos los problemas requieren, que quien los resuelve, los divida en submetas que, cuando son dominadas (por lo regular en orden), llevan a alcanzar el objetivo. La solución de problemas también requiere que se realicen operaciones durante el estado inicial y las submetas, actividades (conductuales, cognoscitivas) que alteran la naturaleza de tales estados (Schunk, 1997).
Cada disciplina dispone de estrategias específicas para resolver problemas de su ámbito; por ejemplo, resolver problemas matemáticos implica utilizar estrategias propias de las matemáticas. Sin embargo, algunos psicólogos opinan que es posible utilizar con éxito estrategias generales, útiles para resolver problemas en muchas áreas. A través del tiempo, la humanidad ha utilizado diversas estrategias generales para resolver problemas. Schunk (1997), Woolfolk (1999) y otros, destacan los siguientes métodos o estrategias de tipo general:
• Ensayo y error:
Consiste en actuar hasta que algo funcione. Puede tomar mucho tiempo y no es seguro que se llegue a una solución. Es una estrategia apropiada cuando las soluciones posibles son pocas y se pueden probar todas, empezando por la que ofrece mayor probabilidad de resolver el problema.
Por ejemplo, una bombilla que no prende: revisar labombilla, verificar la corriente eléctrica, verificar el interruptor.
• Iluminación :
Implica la súbita conciencia de una solución que sea viable. Es muy utilizado el modelode cuatro pasos formulado por Wallas (1921): preparación, incubación, iluminación y verificación. Estos cuatro momentos también se conocen como proceso creativo. Algunas investigaciones han determinado que cuando en el periodo de incubación se incluye una interrupción en el trabajo sobre un problema se logran mejores resultados desde el punto de vista de la creatividad. La incubación ayuda a "olvidar" falsas pistas, mientras que no hacer interrupciones o descansos puede hacer que la persona que trata de encontrar una solución creativa se estanque en estrategias inapropiadas.
• Heurística :
Se basa en la utilización de reglas empíricas para llegar a una solución. El método heurístico conocido como “IDEAL”, formulado por Bransford y Stein (1984), incluye cinco pasos:
Identificar el problema;
definir y presentar el problema; explorar las estrategias viables; avanzaren las estrategias; y lograr la solución y volver para evaluar los efectos de las actividades (Bransford &Stein, 1984). El matemático Polya (1957) también formuló un método heurístico para resolver problemas que se aproxima mucho al ciclo utilizado para programar computadores. A lo largo de esta Guía se utilizará este método propuesto por Polya.
• Algoritmos:
Consiste en aplicar adecuadamente una serie de pasos detallados que aseguran una solución correcta. Por lo general, cada algoritmo es específico de un dominio del conocimiento. La programación de computadores se apoya en este método, tal como veremos en la Unidad 2.
• Modelo de procesamiento de información :
El modelo propuesto por Newell y Simon (1972) se basa en plantear varios momentos para un problema (estado inicial, estado final y vías de solución). Las posibles soluciones avanzan por subtemas y requieren que se realicen operaciones en cada uno de ellos.
• Análisis de medios y fines:
Se funda en la comparación del estado inicial con la meta que se pretende alcanzar para identificar las diferencias. Luego se establecen submetas y se aplican las operaciones necesarias para alcanzar cada submeta hasta que se alcance la meta global. Con este método se puede proceder en retrospectiva (desde la meta hacia el estado inicial) o en prospectiva (desde el estado inicial hacia la meta).
• Razonamiento analógico:
Se apoya en el establecimiento de una analogía entre una situaciónque resulte familiar y la situación problema. Requiere conocimientos suficientes de ambas situaciones.
• Lluvia de ideas:
Consiste en formular soluciones viables a un problema. El modelo propuesto por Mayer (1992) plantea: definir el problema; generar muchas soluciones (sin evaluarlas); decidir los criterios para estimar las soluciones generadas; y emplear esos criterios para seleccionar la mejor solución. Requiere que los estudiantes no emitan juicios con respecto a las posibles soluciones hasta que terminen de formularlas.
• Sistemas de producción : Se basa en la aplicación de una red de secuencias de condición y acción (Anderson, 1990).
• Pensamiento lateral :
Se apoya en el pensamiento creativo, formulado por Edwar de Bono (1970), el cual difiere completamente del pensamiento lineal (lógico). El pensamiento lateral requiere que se exploren y consideren la mayor cantidad posible de alternativas para solucionar un problema. Su importancia para la educación radica en permitir que el estudiante: explore (escuche y acepte puntos de Pág.8 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php vista diferentes, busque alternativas); avive (promueva el uso de la fantasía y del humor); libere (use la discontinuidad y escape de ideas preestablecidas); y contrarreste la rigidez (vea las cosas desde diferentes ángulos y evite dogmatismos). Este es un método adecuado cuando el problema que se desea resolver no requiere información adicional, sino un reordenamiento de la información disponible; cuando hay ausencia del problema y es necesario apercibirse de que hay un problema; o cuando se debe reconocer la posibilidad de perfeccionamiento y redefinir esa posibilidad como un problema (De Bono, 1970).
Como se puede apreciar, hay muchas estrategias parasolucionar problemas; sin embargo, esta Guía se enfoca principalmente en dos de estas estrategias: Heurística y Algorítmica. Según Polya (1957), cuando se resuelven problemas, intervienen cuatro operaciones mentales:
1. Entender el problema
2. Trazar un plan
3. Ejecutar el plan (resolver)
4. Revisar
Numerosos autores de textos escolares de matemáticas hacen referencia a estas cuatro etapas planteadas por Polya. Sin embargo, es importante notar que estas son flexibles y no una simple lista de pasos como a menudo se plantea en muchos de esos textos (Wilson, Fernández & Hadaway, 1993). Cuando estas etapas se siguen como un modelo lineal, resulta contraproducente para cualquier actividad encaminada a resolver problemas.
Ilustración 1-1: Interpretación dinámica y cíclica de las etapas planteadas por Polya para resolver problemas.
Es necesario hacer énfasis en la naturaleza dinámica y cíclica de la solución de problemas. En el intento de trazar un plan, los estudiantes pueden concluir que necesitan entender mejor el problema y deben regresar a la etapa anterior; o cuando han trazado un plan ytratan de ejecutarlo, no encuentran cómo hacerlo; entonces, la actividad siguiente puede ser intentar con un nuevo plan o regresar y desarrollar una nueva comprensión del problema (Wilson, Fernández & Hadaway, 1993; Guzdial, 2000).
TIP
La mayoría de los textos escolares de matemáticas abordan la Solución de Problemas bajo el enfoque planteado por Polya. Por ejemplo, en “Recreo Matemático 5” (Díaz, 1993) y en “Dominios 5” (Melo, 2001) se pueden identificar las siguientes sugerencias propuestas a los estudiantes para llegar a la solución de un problema matemático:
1. COMPRENDER EL PROBLEMA.
• Leer el problema varias veces
• Establecer los datos del problema
• Aclarar lo que se va a resolver (¿Cuál es la pregunta?)
• Precisar el resultado que se desea lograr
• Determinar la incógnita del problema
• Organizar la información
• Agrupar los datos en categorías
• Trazar una figura o diagrama.
2. HACER EL PLAN.
• Escoger y decidir las operaciones a efectuar.
• Eliminar los datos inútiles.
• Descomponer el problema en otros más pequeños.
3. EJECUTAR EL PLAN (Resolver).
• Ejecutar en detalle cada operación.
• Simplificar antes de calcular.
• Realizar un dibujo o diagrama
4. ANALIZAR LA SOLUCIÓN (Revisar).
• Dar una respuesta completa
• Hallar el mismo resultado de otra manera.
• Verificar por apreciación que la respuesta es adecuada.
EJEMPLO
En un juego, el ganador obtiene una ficha roja; el segundo, una ficha azul; y el tercero, una amarilla. Al final de varias rondas, el puntaje se calcula de la siguiente manera: Al cubo de la cantidad de fichas rojas se adiciona el doble de fichas azules y se descuenta el cuadrado de las fichas amarillas. Si Andrés llegó 3 veces en primer lugar, 4 veces de último y 6 veces de intermedio, ¿Qué puntaje obtuvo? (Adaptado de Melo (2001), página 30).
R/.
COMPRENDE
• Leer detenidamente el problema
• ¿Cuántos colores de fichas se reparten?
• ¿Cuántas fichas rojas, azules y amarillas obtuvo Andrés?
• ¿Qué pregunta el problema?
PLANEA
• Para hallar el puntaje que obtiene Andrés por sus llegadas de primero, calcular el cubo de la cantidad de fichas rojas.
• Para hallar el puntaje por sus llegadas en segundo lugar, calcular el doble de la cantidad de fichas azules.
• Para hallar el puntaje que pierde por sus llegadas en último lugar, calcular el cuadrado de la cantidad de fichas amarillas.
• Para hallar el puntaje total, calcular la suma de los puntajes por las fichas rojas y azules, restarle los puntos de las fichas amarillas.
RESUELVE
• Por tres fichas rojas: 33 = 27 puntos
• Por seis fichas azules: 6 x 2 = 12 puntos
• Por cuatro fichas amarillas: 42 = 16 puntos
• Para obtener el puntaje final de Andrés, sumar los puntos obtenidos con las fichas rojas y azules (27 + 12 = 39 puntos) y de este resultado restar los puntos representados por las fichas amarillas (39 – 16 = 23 puntos).
REVISA Pág.9 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php
• El puntaje que obtuvo Andrés es 23 puntos.
• Verificar las operaciones y comparar los cálculos con la solución estimada.
El anterior es un problema típico en clase de matemáticas. Es muy importante que los estudiantes reflexionen sobre las actividades que realizan para solucionarlo (meta cognición) y las agrupen de acuerdo a las etapas que contenga la estrategia de solución empleada.
ACTIVIDAD
En la academia de las ciencias sociales hay dos grupos de materias: Geografía, con 124 alumnos; Historia, con 220; y Educación Ambiental, con 185. Si hay 25 alumnos que estudian Geografía y Educación Ambiental, 37 que estudian Educación Ambiental e Historia, y ninguno toma las tres materias, ¿cuántos alumnos tiene la academia? (Adaptado de Melo, 2001, página 46).
El estudiante debe tener en cuenta (y anotar) las actividades que realiza para resolver este problema y agruparlas en cada una de las cuatro etapas propuestas por Polya (comprende, planea, resuelve y revisa). Para resolver este problema, los estudiantes deben tener conocimientos sobre conjuntos (representación, clasificación e intersección). Es buena idea que construyan una tabla para organizar la información y un diagrama de Venn para representar los datos.
Establecer un modelo para solucionar problemas es un paso fundamental pero no suficiente. Según Clements & Meredith (1992) y Zemelman, Daniels & Hyde (1998) yotros, los docentes deben adoptar una serie de buenas prácticas con el fin de ayudar a los estudiantes a desarrollar habilidades para resolver problemas:
• Plantear verbalmente problemas con variedad de estructuras y de formas de solución.
• Presentar diversas estrategias de solución de problemas.
• Asignar problemas que tengan aplicación en la vida diaria.
• Ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad delos estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación.
• Permitir a los estudiantes tomar la iniciativa en el planteamiento de preguntas e investigaciones que les interesen.
• Hacer preguntas que involucren pensamiento de orden superior.
• Verificar que los estudiantes son conscientes de las estrategias que deben utilizar y de los procesos que deben aprender.
• Plantear problemas que proporcionen contextos en los que se aprendan conceptos y habilidades.
• Proveer ejemplos de cómo los conceptos y habilidades utilizados podrían aplicarse en otros contextos.
• Promover, de manera creciente, la abstracción y la generalización mediante la reflexión y la experimentación.
• Fomentar la utilización de representaciones visuales que favorezcan la comprensión de conceptos (diagramas de flujo, mapas conceptuales, diagramas de Venn, etc).
• Dar retroalimentación personalizada en consideración al esfuerzo hecho por los estudiantespara solucionar problemas.
• Verificar que una cantidad importante de la instrucción ocurra en grupos pequeños o en situaciones de uno a uno.
• Ventilar los errores y malentendidos más comunes.
• Promover la interacción tanto estudiante-docente, como estudiante-estudiante. Los niños son los mejores maestros de otros niños en cosas tan importantes para ellos como el aprendizaje de diversos juegos (Savater, 1996).
• Ofrecer actividades que den oportunidad a los estudiantes de discutir, hacer conjeturas, sacar conclusiones, defender ideas y escribir conceptualizaciones.
• Proporcionar oportunidades para realizar trabajo reflexivo y colaborativo entre estudiantes.
Solución de problemas y programación
Desde el punto de vista educativo, la solución de problemas mediante la programación de computadores posibilita la activación de una amplia variedad de estilos de aprendizaje. Los estudiantes pueden encontrar diversas maneras de abordar problemas y plantear soluciones, al tiempo que desarrollan habilidades para: visualizar caminos de razonamiento divergentes, anticipar errores, y evaluar rápidamente diferentes escenarios mentales (Stager, 2003).
Ilustración 1-2(a): Área de trabajo de MicroMundos EX (interfaz del programa) Quienes han utilizado Logo con estudiantes de básica primaria (especialmente con grados 3º a 5º - 8 a 11 Pág.10 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php años) habrán podido observar la facilidad con que ellos se familiarizan con la interfaz del programa y la utilizan para darle instrucciones a la tortuga. Por ejemplo,utilizan el “centro de mando” (área de comandos) para introducir manualmente, una a una, las instrucciones para construir un rectángulo. Esta forma de utilizar Logo promueve la exploración y permite al estudiante ver inmediatamente cuál es el efecto que produce cada instrucción ejecutada.
Ilustración 1-2(b): Área de trabajo de Scratch Versión 1.4 (interfaz del programa)
EJEMPLO
Pedir a los estudiantes que escriban en el “Centro de Mando” las instrucciones para dibujar un rectángulo con las siguientes medidas:
Lado1= 80; Lado2=120. Micro Mundos cp. Adelante 80 derecha 90 adelante 120 derecha 90 adelante 80 derecha 90 adelante 120
Scratch
El Centro de Mando de MicroMundos no tiene equivalente en Scratch. A medida que el estudiante introduce cada una de estas instrucciones se dibuja cada uno de los lados que conforman el rectángulo.
NOTA: Ver en el Anexo 1 un resumen de las primitivas (comandos e instrucciones) de MicroMundos y de Scratch utilizadas en esta guía.
Sin embargo, en esta guía se utilizará el “área de procedimientos” de MicroMundos para programar el computador. Los procedimientos son módulos con instrucciones que se inician con el comando “para” y que el computador ejecuta automáticamente, una tras otra, hasta encontrar el comando “fin”. Emplear Logo de esta manera exige que el estudiante piense en todos los comandos que conforman un procedimiento antes de escribirlo, ejecutarlo y comprobar si produce el resultado esperado. Así, Logo promueve lo que Piaget (1964) denominó “la conquista de la difícil conducta de lareflexión” que se inicia a partir de los siete u ocho años cuando niños y niñas dejan de actuar por impulso y empiezan a pensar antes de proceder. Además, demanda de los estudiantes planificar, formular hipótesis y anticipar qué sucederá.
EJEMPLO
Pedir a los estudiantes que escriban un procedimiento para dibujar un rectángulo con unas medidas determinadas (Lado1= 80; Lado2=120), implica que ellos deben pensar en algo muy parecido a lo siguiente (y escribirlo):
MicroMundos para rectángulo cp adelante 80 derecha 90 adelante 120 derecha 90 adelante 80 derecha 90 adelante 120 Fin
Scratch
Cuando se invoca este procedimiento escribiendo “rectángulo” en el “Centro de Mando” de MicroMundos o haciendo clic en la bandera verde de Scratch, el computador ejecuta automáticamente y en orden consecutiva, las instrucciones que se encuentran entre “para rectángulo” [to rectangulo] y “fin” [end] (MicroMundos) o debajo de la instrucción [al presionar bandera verde]. Antes de escribir el anterior procedimiento, los estudiantes deben analizar la figura geométrica que desean construir, describirla y reflexionar acerca de cómo se unen sus partes (dos pares de lados paralelos de igual longitud y cuatro ángulos iguales de 90 grados). Deben explicar el todo mediante la composición de las partes, y esta composición supone, por tanto, la existencia de autenticas operaciones de segmentación o partición y de operaciones inversas de reunión o adición, así como desplazamientos por separación o concentración (Piaget, 1964).
Pedir a los estudiantes que escriban un procedimiento más general para dibujar cualquier rectángulo, significa que ellos deben tratar las dimensiones de la figura como variables (Lado1= ?; Lado2= ?) y no como constantes(Lado1= 80; Lado2= 120). Además, deben construir una definición de rectángulo que el computador entienda; de esta manera, empiezan a construir conocimiento intuitivo acerca de la definición de esta figura geométrica, conocimiento que luego pueden formalizar en una definición abstracta de la misma (Clements & Meredith, 1992).
Adicionalmente, la programación de computadores compromete a los estudiantes en varios aspectos importantes de la solución de problemas: decidir sobre la naturaleza del problema, seleccionar una representación que les ayude a resolverlo, y monitorear sus propios pensamientos (metacognición) y estrategias Pág.11 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php de solución. Este último, es un aspecto que ellos deben desarrollar desde edades tempranas y solucionar problemas con ayuda del computador puede convertirse en una excelente herramienta para adquirir la costumbre de tratar cualquier problema de manera rigurosa y sistemática, aun, cuando no se vaya a utilizar un computador para solucionarlo.
De hecho, para muchos educadores, el uso apropiado de la tecnología en la educación tiene un significado similar a la solución de problemas matemáticos. La programación de computadores para llevar a cabo tareas matemáticas retadoras puede mejorar la comprensión del estudiante “programador” sobre las matemáticas relacionadas con una solución. Esto implica abrirle un espacio a la programación en el estudio de las matemáticas, pero enfocándose en los problemas matemáticos y en el uso del computador como una herramienta para solucionar problemas de esta área (Wilson, Fernández & Hadaway, 1993).
Numerosos autores de libros sobre programación, plantean cuatro fases para elaborar un procedimiento que realice una tarea específica. Estas fases concuerdan con las operaciones mentales descritas por Polya para resolver problemas:
1. Analizar el problema (Entender el problema)
2. Diseñar un algoritmo (Trazar un plan)
3. Traducir el algoritmo a un lenguaje de programación (Ejecutar el plan)
4. Depurar el programa (Revisar)
Como se puede apreciar, hay una similitud entre lasmetodologías propuestas para solucionar problemas matemáticos (Clements & Meredith, 1992; Díaz, 1993; Melo, 2001; NAP, 2004) y las cuatro fases para solucionar problemas específicos de áreas diversas,mediante la programación de computadores.
Ilustración 1-3: fases para elaborar un programa de computador.
Analizar el problema (entenderlo)
Ilustración 1-4: Primera fase del ciclo de programación.
Los programas de computador tienen como finalidad resolver problemas específicos y el primer paso consiste en definir con precisión el problema hasta lograr la mejor comprensión posible. Una forma de realizar esta actividad se basa en formular claramente el problema, especificar los resultados que se desean obtener, identificar la información disponible (datos), determinar las restricciones y definir los procesos necesarios para convertir los datos disponibles (materia prima) en la información requerida (resultados).
Estas etapas coinciden parcialmente con los elementos generales que, según Schunk (1997), están presentesen todos los problemas:
1. Especificar claramente los resultados que se desean obtener (meta y submetas)
2. Identificar la información disponible (estado inicial)
3. Definir los procesos que llevan desde los datos disponibles hasta el resultado deseado (operaciones)
Ilustración 1-5: Etapas a desarrollar en la fase de análisis de un problema (entenderlo)
Para establecer un modelo que los estudiantes puedan utilizar en la fase de análisis del problema, debemos agregar dos temas a los elementos expuestos por Schunk (1997): formular el problema y determinar las restricciones. Pág.12 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php
Ahora veamos con mayor detalle cada una de las etapas del análisis de un problema.
Formular el problema
La solución de un problema debe iniciar por determinar y comprender exactamente en qué consiste ese problema.
La mayoría de los problemas que se resuelven en el aula de clase llegan a manos de los estudiantes perfectamente formulados. Esta etapa es una buena oportunidad para plantear situaciones en forma verbal o escrita que vinculen la enseñanza de las matemáticas con el entorno en el que vive el estudiante y que tengan una variedad de estructuras y de formas de solución(Zemelman, Daniels & Hayde, 1998).
Esta metodología obliga al estudiante a formular elproblema a partir de la situación real planteada. De esta manera se contrarresta la costumbre tan común en elaula de que los problemas sean formulados por el profesor o tomados de los libros de texto (Brown & Walter, 1990).
EJEMPLO
OPCIÓN 1:
Juan Felipe es jefe de bodega en una fabrica de pañales desechables y sabe que la producción diaria es de 744 pañales y que en cada caja donde se empacan para la venta caben 12 pañales. ¿Cuántas cajas debe conseguir Juan Felipe para empacar los pañales fabricados en una semana?
OPCIÓN 2:
Juan Felipe es jefe de bodega en una fabrica de pañales desechables y una de las tares del día consiste en llamar al proveedor de los empaques y ordenarle la cantidad suficiente de cajas para empacar los pañales fabricados en la semana próxima. El jefe de producción le informó ayer a Juan Felipe que la producción diaria será de 744 pañales y en cada caja cabe una docena de ellos.
¿Qué debe hacer Felipe?
La Opción 1 plantea directamente el problema que el estudiante debe resolver. Mientras que la Opción 2 plantea una situación y la pregunta es ¿Qué debe hacer Felipe?. La Opción 2 demanda al estudiante leer muy bien el texto para comprender la situación y así poder formular el problema de Juan Felipe. Es algo similar a preguntar al estudiante “cuánto es 7 menos 3” versus preguntar “sí Rosa tiene 7 naranjas y Julio tiene 3, cuántas naranjas de más tiene Rosa”.
La comprensión lingüística del problema (entender el significado de cada enunciado) es muy importante. El estudiante debe realizar una lectura previa del problema con el fin de obtener una visión general de lo que se le pide y una segunda lectura para poder responder preguntas como:
• ¿Puedo definir mejor el problema?
• ¿Qué palabras del problema me son desconocidas?
• ¿Cuáles son las palabras clave del problema?
• ¿He resuelto antes algún problema similar?
• ¿Qué información es importante?
• ¿Qué información puedo omitir?
Además, es conveniente que los estudiantes se habitúen a analizar los problemas desde diferentes puntos de vista y a categorizar la información dispersa que reciben como materia prima (Schunk, 1997).
En programación es frecuente que quien programa deba formular el problema a partir de los resultados esperados. Es muy importante que el estudiante sea consciente de que cuando las especificaciones de unprograma se comunican mediante lenguaje natural, estas pueden ser ambiguas, incompletas e incongruentes. En esta etapa se debe hacer una representación precisa del problema (Rumbaugh, 1996); especificar lo más exactamente posible lo que hay que hacer (no cómo hay que hacerlo).
EJEMPLO
Doña Ruby necesita decidir cómo comprar un televisor que cuesta 850.000 de contado o 960.000 a crédito. Ella tiene 600.000 pesos en efectivo.
R/.
Como el efectivo que tiene doña Ruby no le alcanza para comprar el televisor de contado, ella tiene dos opciones: comprarlo totalmente a crédito o pagar una parte de contado (cuota inicial) y el resto a crédito.
Para poder resolver el problema se debe conocer el número de cuotas si desea pagarlo totalmente a crédito o conocer el número de cuotas y el valor total del televisor si se da una cuota inicial de 600.000 pesos.
Precisar los resultados esperados (meta y submetas)
Para establecer los resultados que se esperan (meta) es necesario identificar la información relevante, ignorar los detalles sin importancia, entender los elementos del problema y activar el esquema correcto que permita comprenderlo en su totalidad (Woolfolk, 1999).
Determinar con claridad cuál es el resultado final (producto) que debe devolver el programa es algo que ayuda a establecer la meta. Es necesario analizar qué resultados se solicitan y qué formato deben tener esos resultados (impresos, en pantalla, diagramación, orden, etc). El estudiante debe preguntarse:
• ¿Qué información me solicitan?
• ¿Qué formato debe tener esta información?
Identificar datos disponibles (estado inicial)
Otro aspecto muy importante en la etapa de análisis del problema consiste en determinar cuál es la información disponible. El estudiante debe preguntarse:
• ¿Qué información es importante?
• ¿Qué información no es relevante?
• ¿Cuáles son los datos de entrada? (conocidos)
• ¿Cuál es la incógnita?
• ¿Qué información me falta para resolver el problema? (datos desconocidos) Pág.13 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php
• ¿Puedo agrupar los datos en categorías?
Otro aspecto importante del estado inicial hace referencia al nivel de conocimiento que el estudiante posee en el ámbito del problema que está tratando de resolver. Es conveniente que el estudiante se pregunte a sí mismo:
• ¿Qué conocimientos tengo en el área o áreas del problema?
• ¿Son suficientes esos conocimientos?
• ¿Dónde puedo obtener el conocimiento que necesito para resolver el problema?
• ¿Mis compañeros de estudio me pueden ayudar a clarificar mis dudas?
• ¿Qué expertos en el tema puedo consultar?
En el ámbito de las matemáticas, se conoce como conocimiento condicional a aquel que activan los estudiantes cuando aplican procedimientos matemáticos concretos de manera intencional y consciente a ciertas situaciones. “El conocimiento condicional proporciona al alumno un sistema de valoración sobre la extensión y las limitaciones de su saber (qué sabe sobre el tema, su capacidad de memoria, etc), a la vez que examina lanaturaleza de la demanda del profesor y su objetivoúltimo, y evalúa variables externas como pueden ser el tiempo que tiene o con quién realiza la tarea” (Orubia & Rochera & Barberà, 2001).
EJEMPLO
Esteban está ahorrando para comprar una patineta que vale 55.000 pesos. Su papá le ha dado una mesada de 5.000 pesos durante 7 semanas. Por lavar el auto de su tío tres veces recibió 8.000 pesos.
Su hermano ganó 10.000 pesos por hacer los mandados de su mamá y 4.000 por sacar a pasear el perro. ¿Esteban tiene ahorrado el dinero suficiente para comprar la patineta o aún le falta? (Adaptado de Casas buenas & Cifuentes (1998b), página 23).
R/.
Formular el problema:
Ya se encuentra claramente planteado.
Resultados esperados: Si o no tiene Esteban ahorrado el dinero suficiente para comprar una patineta que vale 55.000 pesos.
Datos disponibles: Los ingresos de Esteban: 5.000 pesos por 7 semanas + 8.000 pesos. Los 10.000 y 4.000 pesos qué ganó el hermano de Esteban son irrelevantes para la solución de este problema y se pueden omitir.
Determinar las restricciones
Resulta fundamental que los estudiantes determinen aquello que está permitido o prohibido hacer y/o utilizar para llegar a una solución. En este punto se deben exponer las necesidades y restricciones (no una propuesta de solución). El estudiante debe preguntarse:
• ¿Qué condiciones me plantea el problema?
• ¿Qué está prohibido hacer y/o utilizar?
• ¿Qué está permitido hacer y/o utilizar?
• ¿Cuáles datos puedo considerar fijos (constantes) para simplificar el problema?
• ¿Cuáles datos son variables?
• ¿Cuáles datos debo calcular?
Establecer procesos (operaciones)
Consiste en determinar los procesos que permiten llegar a los resultados esperados a partir de los datos disponibles. El estudiante debe preguntarse:
• ¿Qué procesos necesito?
• ¿Qué fórmulas debo emplear?
• ¿Cómo afectan las condiciones a los procesos?
• ¿Qué debo hacer?
• ¿Cuál es el orden de lo que debo hacer?
En la medida de lo posible, es aconsejable dividir el problema original en otros más pequeños y fáciles de solucionar (submetas), hasta que los pasos para alcanzarlas se puedan determinar con bastante precisión (módulos). Esto es lo que en programación se 2001).
El diseño descendente se utiliza en la programación estructurada de computadores debido a que facilita:
• La comprensión del problema
• Las modificaciones en los módulos
• La verificación de la solución
Al realizar divisiones sucesivas del problema en otros más pequeños y manejables (módulos), hay que tener cuidado para no perder de vista la comprensión de este como un todo. El estudiante, luego de dividir el problema original en submetas (módulos), debe integrar cada parte de tal forma que le permita comprender el problema como un todo (Woolfolk, 1999).
Igualmente hay que tener cuidado cuando se utiliza este enfoque para resolver problemas complejos o extensos, en cuyo caso resulta más aconsejable utilizar una metodología orientada a objetos. Especialmente, cuando profesores universitarios manifiestan su preocupación por el aprendizaje de malas prácticas de programación en el colegio. Hay casos en los cuales algunos estudiantes no han podido cambiar su forma de pensar “estructurada” por otra orientada a objetos, la cual hace parte de los programas universitarios modernos en la carrera de Ingeniería de Sistemas. Es aconsejable que los ejemplos y actividades planteados a los estudiantes contengan solo un problema cuya solución sea muy corta (no necesariamente sencillo de resolver). De esta forma ellos podrán enfocarse en aplicar completamente la metodología propuesta para analizar problemas (formular el problema, especificar los resultados, identificar la información disponible, determinar las restricciones y definir los procesos) sin perderse en el laberinto de un problema demasiado complejo.
Las operaciones para llegar a los resultados esperados se implementan en Logo mediante procedimientos. Porejemplo, si se desea producir un software para trabajar con figuras geométricas de diferentes tipos, el triángulo rectángulo será uno de los objetos a tener en cuenta y este a su vez, debe prestar los siguientes servicios (Jiménez, 2002): Pág.14 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php
1. Un procedimiento para leer los datos de entrada.
2. Un procedimiento para calcular el área.
3. Un procedimiento para calcular la hipotenusa.
4. Un procedimiento para calcular el perímetro.
5. Un procedimiento para mostrar los resultados.
Ilustración 1-6: Descripción de los servicios que debe estar en capacidad de prestar el objeto “triángulo rectángulo”.
EJEMPLO
De acuerdo con la metodología descrita, analizar el problema de hallar el área de un triángulo rectángulo cuya Base mide 3 cm, la Altura 4 cm y la Hipotenusa 5 cm.
R/
Formular el problema:
Ya se encuentra claramente planteado.
Resultados esperados:
El área de un triángulo rectángulo.
Datos disponibles:
Base, Altura, Hipotenusa, tipo de triángulo. La incógnita es el área y todos los valores son constantes. El valor de la hipotenusa se puede omitir. El estudiante debe preguntarse si sus conocimientos actuales de matemáticas le permiten resolver este problema; de no ser así, debe plantear una estrategia para obtener los conocimientos requeridos.
Determinar las restricciones:
Utilizar las medidas dadas.
Procesos necesarios:
Guardar en dos variables los valores de Base y Altura; Guardar en una constante el divisor 2; aplicar la fórmula área=base*altura/2; comunicar el resultado (área).
ACTIVIDAD
La mayoría de las metodologías propuestas para la solución de problemas matemáticos se aproxima al ciclo de programación de computadores. Se puede iniciar planteando a los estudiantes problemas matemáticos como los siguientes, encontrados en Casasbuenas & Cifuentes (1998b):
1. Luisa quiere invertir sus ahorros en la compra de discos compactos de moda. Si tiene $68.000, ¿Cuántos discos comprará?
Analizar el problema:
• ¿Qué tienes en cuenta cuando vas a comprar un disco?
• ¿Tienes información suficiente para resolver el problema de Luisa?
• ¿Qué dato averiguarías para saber cuántos discos puede comprar Luisa?
Plantear ahora este problema utilizando la metodología de “Formular el problema”, “Resultados esperados”, “Datos disponibles”, “Determinar las restricciones” y “Procesos necesarios”.
TIP
Cinco pasos que deben tener en cuenta los estudiantes para resolver problemas matemáticos (Rodríguez, 1995):
1. Leer con mucho cuidado el problema hasta entenderlo.
2. Buscar la(s) pregunta(s).
3. Decidir lo que debes hacer.
4. Realizar las operaciones.
5. Comprobar que la respuesta hallada es correcta.
Pida a los estudiantes que contesten las siguientes preguntas en el proceso de solución de problemas matemáticos:
• ¿Cuántas preguntas tiene el problema? ¿Cuáles?
• ¿Qué debes hacer primero? ¿Para qué?
• ¿Qué debes hacer luego? ¿Para qué?
• ¿Cuál debe ser la respuesta (estimada) del problema?
ACTIVIDAD
Basándose en la metodología expuesta en esta unidad, dividir a los estudiantes en grupos y distribuir entre ellos la tarea de análisis detallado (“Formular el problema”, “Resultados esperados”, “Datos disponibles”, “Determinar las restricciones” y “Procesos necesarios”) de los siguientes problemas (uno por grupo):
1. Hallar el área de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm.
2. Hallar uno de los lados de un rectángulo cuya área es de 15 cm2y uno de sus lados mide 3 cm.
3. Hallar el área y el perímetro de un círculo cuyo radio mide 2 cm.
4. Hallar el área de un pentágono regular de 6 cm de lado y con 4 cm de apotema.
Dato Curioso
Deep Blue de IBM fue el primer computador que superó a un campeón mundial de ajedrez cuando le ganó una partida a Gary Kasparov en febrero de 1996. La victoria de Deep Blue formaba parte de una serie de seis partidas, que Kasparov terminó ganando 4-2. En 1997, una versión nueva y mejorada de Deep Blue contraatacó en una segunda serie. Esta vez, el computador, capaz de planear una vertiginosa cantidad de 200 millones de posiciones por segundo, ganó la serie a Kasparov por 3.5 a 2.5 puntos. (Libro Güines de los Records 2002)
Ilustración 1-7: Fases segunda, tercera y cuarta, del ciclo de programación.
Diseñar el algoritmo (trazar un plan) Este tema se tratará en profundidad en las unidades 2 y 3 de esta guía. Por el momento, podemos resumir queúnicamente hasta cuando se ha realizado un análisis a Pág.15 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php fondo del problema (utilizando alguna metodología), se puede proceder a elaborar el algoritmo (diagrama deflujo). Este consiste en la representación gráfica,mediante símbolos geométricos, de la secuencia lógica de las instrucciones (plan) que posteriormente serán traducidas a un lenguaje de programación, como Logo, para ejecutarlas y probarlas en un computador.
EJEMPLO
Diseñar un algoritmo (seudocódigo y diagrama de flujo) para hallar el área de un triángulo rectángulo cuya Base mide 3 cm, la Altura 4 cm y la Hipotenusa 5cm.
R/
ANÁLISIS DEL PROBLEMA
Formular el problema:
Ya se encuentra claramente planteado.
Resultados esperados:
El área de un triángulo rectángulo.
Datos disponibles:
Base, Altura, Hipotenusa, tipo de triángulo. La incógnita es el área y todos los valores son constantes. El valor de la hipotenusa se puede omitir. El estudiante debe preguntarse si sus conocimientos actuales de matemáticas le permiten resolver este problema; de no ser así, debe plantear una estrategia para obtener los conocimientos requeridos.
Determinar las restricciones:
Utilizar las medidas dadas.
Procesos necesarios:
Guardar en dos variables (BASE y ALTURA) los valores de Base y Altura; Guardar en una constante (DIV) el divisor 2; aplicar la fórmula BASE*ALTURA/DIV y guardar el resultado en la variable AREA; comunicar el resultado (AREA).
ALGORITMO EN SEUDOCÓDIGO
Paso 1: Inicio
Paso 2: Asignar el número 2 a la constante "div"
Paso 3: Asignar el número 3 a la constante “base”
Paso 4: Asignar el número 4 a la constante “altura”
Paso 5: Guardar en la variable "área" el resultado de base*altura/div
Paso 6: Imprimir el valor de la variable "área"
Paso 7: Final
ALGORITMO EN DIAGRAMA DE FLUJO
Ilustración 1-8: Diagrama de Flujo para hallar el área de un triángulo rectángulo.
Traducir el algoritmo (ejecutar el plan)
Este tema se tratará en profundidad en las Unidades 3 y 4 de esta guía. Una vez que el algoritmo está diseñado y representado gráficamente se pasa a la etapa de traducción a un lenguaje de programación determinado (en nuestro caso será Logo). Cada lenguaje posee sus propias reglas gramaticales, por lo tanto es fundamental que los estudiantes conozcan de antemano la sintaxis de los comandos que deben utilizar para resolver elproblema. A mayor dominio del lenguaje de programación, mayor posibilidad de llegar rápidamente a una solución satisfactoria. A esta fase de traducción se le conoce comúnmente como codificación.
EJEMPLO
A partir del ejemplo anterior, escribir un procedimiento en Logo que se llame triángulo para hallar el área de un triángulo rectángulo cuya Base mide 3 cm, la Altura 4 cm y la Hipotenusa 5 cm.
R/
MicroMundos para triángulo local "div local "base local "altura local "área da "div 2 da "base 3 da "altura 4 da "área :base * :altura / :div muestra :área fin Scratch
Al escribir en el centro de mando de MicroMundos la palabra triángulo se debe obtener como resultado 6. En el caso de Scratch, hacer clic en la bandera verde y se debe obtener el mismo resultado.
Depurar el programa (revisar)
Este tema se tratará en profundidad en la Unidad 4 de esta guía. Después de traducir el algoritmo en un lenguaje de programación como Logo, el programa resultante debe ser probado y validados los resultados.
A este proceso se le conoce como depuración. Depurar programas contribuye a mejorar la capacidad en los estudiantes para resolver problemas; la depuración basada en la retroalimentación es una habilidad útil para toda la vida (Stager, 2003).
Quienes han escrito alguna vez un programa de computador, saben de la dificultad que representa elaborar programas perfectos en el primer intento, Pág.16 - 9-nov-09 - Segunda Edición - Descargue gratuitamente esta Guía: http://www.eduteka.org/GuiaAlgoritmos.php dificultad que aumenta a medida que el problema a resolver es más complejo. La depuración, afinamiento y documentación de un programa hacen parte fundamental del ciclo de programación y desde el punto de vista educativo estimula en los estudiantes la curiosidad, la perspectiva, la comunicación y promueve valores como responsabilidad, fortaleza, laboriosidad, paciencia y perseverancia. La programación facilita un diálogo interior en el cual la retroalimentación constante y el éxito gradual empujan a los alumnos a ir más allá de sus expectativas (Stager, 2003).
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